SEMBOLİK MANTIK
“Mantık bilmeyenin ilmine güvenilmez.”
Gazali (1058-1111)
Moden mantığın ve modern felsefenin kurucusu Alman mantıkçısı Gottlob Frege'dir (1848-1925). Ferege, “Matematik mantığın uygulama alanıdır,” görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür. Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmişti.
Daha sonra, Ferege'nin çalışmalarına dayanarak, Russell ve Whitehead 1910-1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem halina getirmeye çalıştılar. Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Gödel 1933'te yayınladığı bir kitabındaki (Über die unentsheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwander Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi.
A. Robinson, 1967'de “çözülüm teorem ispatlama” (resolution theorem proving) metodunu geliştirdi. Bu metot 1972'de A. Colmaurer tarafından ilk “Mantık Programlama” (Prolog) dilinin geliştirilmesine yol açtı. Bu dil 1975'te D. Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı. Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980'lerde ortaya çıktı.
Mantığın Frege ve öteki mantıkçılar tarafından 19. yüzyılın sonlarında sembolik hale getirilmesi, dokuzuncu yüzyılda Müslüman Türk matematikçisi Muhammed Musa bin El-Harezmi tarafından cebiri icadetmesiyle karşılaştırılabilir. Cebirin icadı matematikçiler tarafından matematik tarihinin en büyük soyutlamalarından biri kabul edilmektedir. Matematikte bundan sonraki soyutlama ancak 18. yüzyılda Leibniz ve Newton tarafından fonksiyon kavramının geliştirilmesi olmuştur. Cebirin icadı sonuçta sanayi devrimine, mantığın sembolik hale getirilmesi de bilgisayar devrimine yol açmıştır denebilir.
Önermeler Mantığı
Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:
1) tanımlanmamış terimler,
2) tanımlar,
3) türetme kuralları,
4) aksiyomlar,
5) teoremler.
Formel mantığın tanımlanmamış terimleri olarak, basit önerme (P) ve mantıksal bağlar (değil, ve, veya, eğer-ise, eğer ve ancak-ise)
gösterebiliriz.
Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterebiliriz. Aslında yukarıda verdiğimiz mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir.
Önerme:
------------
Bu gün hava güneşlidir.
3 asal sayıdır.
Fatma 21 yaşındadır.
Mantıksal bağları kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurabiliriz, ki bunlara “bileşik önermeler” diyoruz.
Değilleme (negation)
--------------------------
Bir önerme “değil” eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir, buna değilleme diyoruz. Örnek olarak “2 asal sayı değildir” ve “Fatma 21 yaşında değildir,” önermelerini gosterebiliriz.
Birleşim (conjunction)
-----------------------------
İki veya daha fazla önermeden “ve” mantıksal bağını kullanarak bileşik önermeler kurabiliriz. Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak,” cümlesini verebiliriz. Doğal dilde bazan “fakat” bağlacını da kullanıyoruz.
Örnek: “Dün hava açık, fakat rüzgarlı idi.”
Ayrılım (disjunction)
---------------------------
İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurabiliriz. Örnek “Bu gün Aselsan veya Teletaş'tan ziyaretçiler gelecek.”
Şartlı cümle (conditional sentence, implication)
-------------------------------------------------------------
Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurabiliriz. Örnek: “Eğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur.” Bazan “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir” bağını da kullanabiliyoruz. Örnek olarak yukarıdaki şartlı önermeyi şu şekilde de ifade edebilirdik: “Yağmur yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir.”
Çift şartlı (bi-conditional) önermeler
-----------------------------------------------
Gene, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurabiliriz. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılıyor, fakat fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır. Bir örnek şu olabilir: “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.” Bu cümleyi şu şekilde de ifade edebiliyoruz: “Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.”
Şimdi, ayni cebirde sayılar yerine bilinmeyenler kullanıp cebirsel işlemler yapıyorsak, sembolik veya matematiksel mantıkta da önermeler yerine önermesel değişkenler kullanıyoruz. Önermesel değişkenler için genellikle P, Q, R, S, T harflerini kullanacağız.
Mantıksal bağları da şu sembollerle göstereceğiz:
~ : değil,
/\ : ve
V : veya
--> : eğer-ise
<--> : eğer ancak-ise
Böylece, şu ifadeler önermesel formüller olacaktır:
~ P, P/\Q, PVQ, P-->Q, P<-->Q
Örnekler:
1. Şu cümle: 2 asal sayıdır, ve 6 da bileşik sayıdır.
önermesel semboller kullanarak şu sekilde ifade edilebilir: P /\ Q, ki burada P “2 asal sayıdır” basit önermesini, Q da “6 bileşik sayıdır” basit önermesini temsil ediyor.
2. Şu cümle: Eğer bu hafta Beşiktaş veya Fenerbahçe kaybeder ve Galatasaray kazanırsa, Trabzonspor lig ikinciligini kaybedecek ve ben de bahsi kazanacağım.
(P V Q) /\ R -> (S /\ T)
3. Şu cümle: Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis göndermezse önlenir.
(A V B) -> (C <-> D /\ E)
A: Sendika yöneticileri inada devam eder
B: Fabrika yöneticileri inada devam eder
C: Grev önlenir
D: Hükümet kararname çıkartır
E: Hükümet fabrikaya polis göndermez
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki bileşik cümleleri sembolik ifadelere çeviriniz.
(a) Ya yağmur yağıyor, ya da biri musluğu açık bıraktı.
(b) Savaşı ne İran ne de Irak kazandı.
(c) Eğer ve ancak sulama kanalları açılırsa ürünler kurtarılabilir; Eğer ürünler kurtarılamazsa çiftçiler iflas edip yöreyi terkederler.
(d) Aç veya yorgun olduğum zaman ders çalışamam.
Doğruluk Cetvelleri
Daha önce mantıkta, önermelerin doğru ya da yanlış olabileceğini fakat hem doğru hem yanlış olamayacağını söylemiştik. Bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve “yanlış” yüklemlerine onun “doğruluk değeri” denir.
Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim:
~ P, P/\Q, PVQ, P->Q, P<->Q
Burada “değil” kelimesinin anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, yani ~P yanlıştır, ve bunun tersi. Mesela, P önermesi “Ay dünyanın uydusudur” cümlesi yerine geçiyorsa, bunun değillemesi olan ~P yanlıştır.
Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur. Mesela, “3 asal sayıdır ve 2+2=5'tir” yanlış bir bileşik önermedir.
Gene kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olmasi yeterlidir. Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır.
Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:
Değilleme Birleşim Ayrılım Şartlı Çift şartlı
------------- ----------- ---------- ------------- -------------
P ~P P Q P/\Q P Q PVQ P Q P->Q P Q P<->Q
T F T T T T T T T T T T T T
F T T F F T F T T F F T F F
F F T T F T T F T F T F
F F F F F F F F T F F T
Eşdeğerlikler: ~~P = P; ~PVQ = P->Q; ~(PVQ) = ~P/\~Q; (P/\Q) = ~PV~Q
Karşıtlıklar: ~P X P; (P->Q)X(P/\~Q); (PVQ)X(~P/\~Q); (P/\Q)X(~PV~Q)
Örnekler
1. Bileşik bir önerme şu önermesel formül ile verilmiş olsun:
P V Q -> (R <-> ~S)
ve P, Q, R ve S nin doğruluk değerleri sırasıyla T,F,F ve T olsun. Bu önermesel formülün doğruluk değerini nasıl buluruz?
2. Şu düşünce dizisini ele alalım:
Eğer fiyatlar yüksekse ücretler de yüksek olur. Şimdi ya fiyatlar yüksek veya ekonomi politikasi isabetlidir. Eğer ekonomi politikası isabetli ise, o zaman enflasyon olmamalı. Halbuki enflasyon var, şu halde ücretler yüksek.
A -> B 4 B= ?
A V C 3 A=T
C -> ~D 2 C=F
D 1 D=T
-------
B
Eğer öncüller doğru ise, acaba sonuç doğru mudur?
3. ~P, P/\Q, P V Q ve P -> Q önermesel formüllerinin doğruluk tablolarını kullanarak aşağıdaki ifadelerin eşdeğerliğini gösteriniz:
~(P /\ Q) <-> ~ P V ~ Q
~(P V Q) <-> ~ P /\~ Q
~ P V Q <-> P -> Q
4. Aşağıda verilen öncüllerden çıkarılan sonuç geçerli midir?
Kontu ya papaz ya da kahya vurdu,
Eğer kontu kahya vurduysa kahya saat 9’da sarhoş değildi,
Eğer papaz yalan söylemiyorsa, kahya saat 9’da sarhoştu.
-----------------------------------------------------------------------
Ya papaz yalan söylüyor, veya kontu papaz vurdu.
Sembolik gösterim
P V Q
Q -> ~S
~T -> S
----------
T V P
Mantıksal Kavramlar
Tavtoloji (tautology): Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “doğru” çıkıyorsa, bu önermesel formüle “tavtoloji” denir.
Çelişki (contradiction): Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “çelişki” denir.
Bazan doğruluk (contingency): Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları “doğru” bazıları “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “bazan doğru” denir.
Tutarlılık (consistency): Bir bileşik önermeye “ve” ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir.
Geçerlilik (validity): Bir A1, A2, ..., An önerme dizisindeki bütün A’lar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa B’ye A1, A2, ..., An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik şu şekilde gösterilir:
A1, A2, ..., An |= B.
Geçerli Çıkarımlar:
Modus Ponens
P > Q
P
------
Q
Modus Tollens
P > Q
~Q
-------
~P
Mantıksal İçerik (Logical Content): Bir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının, bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o önermenin mantıksal muhtevası o kadar fazladır. Ancak bu oran 0 ve 1’den farklı olmalıdır. Son iki halde bileşik önerme çelişki veya tavtolojidir.
Alıştırma: Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin mantıksal muhtevası en yüksektir?
P, P /\ ~P, PVQ, P/\Q, P-> Q, ((P->Q) /\P -> Q)
Yüklemler Mantığı
Önermeler mantığının türetim kuralları matematik için yeterli olmadığı gibi gündelik lisan için de yeterli değildir. Mesela, klasik mantıkta
Her asal sayı bir tabii sayıdır,
3 asal sayıdır,
öncüllerinden
3 tabii sayıdır.
Aynı şekilde,
Hiçbir İTÜ'lü öğrenci akılsız değildir,
Osman İTÜ'lü bir öğrencidir,
öncüllerinden
Osman akılsız değildir.
sonucunu çıkarabiliyoruz. Fakat bu akıl yürütmenin doğruluğu daha önce gördüğümüz önermeler mantığının kuralları çerçevesi içinde kanıtlanamaz.
Bunun nedeni şudur: Önermeler mantığı bileşik önermeler içindeki basit önermeler arasındaki mantıksal bağlara ve basit önermelerin doğruluk değerlerine göre bileşik önermelerin doğruluklarını inceler. Diğer bir deyişle, önermeler mantığı bir önermeyi bir çok maksat için yeterli ayrıntıda analiz etmez.
İşte, terimler, yüklemler ve niceleyiciler diye isimlendireceğimiz mantıksal kavramlar yardımıyla gündelik dili ve matematiğin dilini büyük ölçüde sembolize edebiliriz.
Yüklemler mantığında da aynı matematikte olduğu gib sabitler ve değişkenler kullanıyoruz. Biraz önce bahsettiğimiz “terimler”i iki sınıfa ayırabiliyoruz: Bireysel değişkenler, bireysel sabitler. Bireysel sabitlere örnek olarak birey olduğunu bildiğimiz va rlıkları sayabiliriz: “Hayati”, “tekir”, “gül” gibi. Bunlar yerine de “insan”, “hayvan”, “bitki” kavramlarının çerçeveleri içinde olmak üzere x, y, z, değişken sembollerini kullanabiliyoruz.
Matematikte değişkenler genellikle sayılar veya fonksiyonlar olabiliyor. Yüklemler mantığında ise bireysel terimler değişken olabildiği gibi, yüklemler de sabit veya değişken olabiliyor. Yüklemsel sabitlere örnek olarak önermeler içinde yer alan yüklemleri gösterebiliriz. “Sayı”, “meyva”, “uydu”, “sert” gibi.
Buna göre:
7 bir asal sayıdır
Elma bir tür meyvadır
Miranda Neptün'ün uydusudur
Demir sert bir metaldir
cümleleri içinde 7, elma, Miranda, Neptün, demir bireysel sabitler, “asal sayı, “meyva”, “uydu” ve “sert metal” de yüklemlerdir.
Bireysel değişkenler bazan tasvirlerle verilir. Mesela hemen her gün gazetelerde “cumhurbaskanı”, “başbakan” denildiği zaman, belli bir çerçeve içinde bunları “Türkiye Cumhuriyetinin cumhurbaşkanı”, “... başbakanı” olarak anlıyoruz, bunlar da bu gün Süleyman Demirel, Necmettin Erbakan veya Mesut Yılmaz bireysel sabitlerine karşılık olarak kullanılıyor.
Yüklemsel ifadelerde yüklemler yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi bir veya iki terimli (veya argumanlı) olabildiği gibi, daha fazla sayıda argüman da ihtiva edebiliyorlar. Mesela: “Beril, Fatma ve Hanifenin önünde oturuyor” dediğimiz zaman burada “önünde oturuyor” ifadesini yüklem olarak, Beril, Fatma ve Hanife isimlerini de bireysel sabitler olarak almış oluyoruz.
Yüklemsel ifadeler yüklemin aldığı terim sayısına göre şu genel biçimlerde gösterilebilirler:
P(a)
Q(b,c)
R(d,e,f)
...
Bu ifadelerde, hemen görülebileceği gibi, bireysel sabitler yerine x, y, z gibi değişkenler koyarsak
P(x), Q(b,y), R(z,e,f)
gibi değişken terimli yüklemsel ifadeler elde ederiz.
Örnekler
1 . Her asal sayı bir tabii sayıdır.
önermesi şu şekilde yeniden formüle edilebilir:
Her bir x için, eğer x bir asal sayı ise, x bir reel sayıdır.
Burada “x asal sayıdır” basit önermesi yerine A(x), “x reel sayıdır” yerine de R(x) diyecek olursak, bu bileşik önermeyi şu sekilde sembolik olarak gösterebiliriz:
Her bir x için, A(x) -> R(x)
Burada “her bir x için” ifadesinde “her bir” sözü mantıkta evrensel niceleyici olarak isimlendirilir ve genellikle V sembolu ile gösterilir. Buna göre, yukarıdaki cümle şu şekilde yeniden yazılabilir:
Vx[A(x) -> R(x)]
2. Bazı tabii sayılar asal sayıdır.
önermesini de şuna çevirebiliriz:
Bazı x için, T(x) /\ A(x)
“Bazı x”deki “bazı” kelimesi de mantıkta “varlıksal niceleyici” olarak isimlendirilir ve ters E harfi ile gösterilir. Buna göre yukarıdaki cümleyi sembolik olarak şu şekilde yazabiliriz:
Ex [T(x) /\ A(x)]
Burada varlıksal niceleyiciler, bireylerin varlığını öngörürler. Mesela
Bazı canlılar uzaylıdır.
cümlesi Ex U(x) şeklinde sembolik olarak yazılabilir, ve sembolik mantık ifade kuralları içinde “Uzaylılar vardır” şeklinde de okunabilir.
3. Aşağıdaki çıkarımın geçerli olup olmadığını gösteriniz:
Mantık bilmeyenin bilgisine güvenilmez.
Hakan mantık bilir.
-----------------------------------
Hakan’ın bilgisine güvenilir.
Sembolik olarak gösterecek olursak: ~M(x) -> ~B(x),
M(hakan)
-------------------
B(hakan)
Burada x yerine ‘hakan’ yazarsak yüklemsel ifadeleri önermesel formüllere çevirebiliriz:
~M(hakan) -> ~B(hakan) ~P -> ~Q Q = T/F
M(hakan) P P = T
-------------------------------- ------------
B(hakan) Q
olur ki, çıkarım geçerli değildir. Çünkü öncüller doğru olduğu halde Q yanlış olabilmektedir.
Yüklemler Mantığında Eşdeğerlik ve Karşıtlık
A(x) bir yüklemsel formül olsun. Şu ifadeleri gözönüne alalım:
a. Vx A(x) c. Vx (~A(x))
b. Ex A(x) d. Ex (~A(x))
Bunları doğal dile çevirirsek:
a. Her şey A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
b. Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
c. Hiçbir şey A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.
d. Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.
Burada görüldüğü gibi d, a'nın karşıtı (değillemesi), c de b'nin karşıtıdır. Şu halde,
Ex A(x) yerine ~Vx ~A(x) kullanabiliriz, çünkü bunlar mantıksal olarak özdeştir, aynı şekilde Vx A(x) yerine ~Ex ~A(x) ifadesini kullanabiliriz.
Yüklemsel ifadelerde değilleme ve niceleyicilerin yeri, anlam bakımından önemlidir. Mesela:
~Vx asal(x), “her sayı asal değildir” anlamına gelirken,
Vx ~asal(x) ise “hiçbir sayı asal değildir” anlamına gelir.
Eşdeğerlikler
Vx P(x) <-> ~ [Ex ~ P(x)]
Ex P(x) <-> ~ [Vx ~ P(x)]
~Ex P(x) <-> Vx ~P(x)
~Vx P(x) <-> Ex ~P(x)
Karşıtlıklar
Vx P(x) >< Ex ~P(x)
Ex P(x) >< Vx ~P(x)
~Ex P(x) >< Ex P(x)
~Vx P(x) >< Vx P(x)
Alıştırmalar
1. a “asal” t “tek sayı”, c “çift sayı” b “böler” olsun. Şu ifadeleri Türkçeye çevirin:
a(7) Vx (~c(x) -> ~b(2,x))
c(2)/\a(2) Vx (c(x) /\ Vy (b(x,y)-> c(y)))
Vx (b(2,x) -> c(x)) Vx (a(x) -> Ey (c(y) /\ b(x,y)))
Ex (c(x)/\b(x,6)) Vx (t(x) -> Vy (a(y) -> ~b(x,y)))
Çözülüm Teorem İspatlama
Çözülüm Teorem İspatlama (Resolution Theorem Proving) mantık teoremlerinin ispatlanması için A. Robinson tarafından geliştirilmiş bir tekniktir. Bu tekniğin esası şudur:
Eğer “ve” bağı ile bağlı P1, ..., Pn önermelerinden bir Q önermesi dedüktif olarak çıkarılabiliyorsa, o zaman Q'nun değillemesini bu önermelere “ve” bağı ile kattığımız zaman bir çelişki (contradiction) elde ederiz. Sembollerle gösterecek olursak:
P1 /\, ..., /\ Pn -> Q çıkarımı geçerli ise,
P1 /\, ..., /\ Pn /\ ~ Q bir çelişkidir.
Bu metodun kullanılabilmesi için, P1, ..., Pn önermelerinin, eşdeğerlik dönüşümleri kullanılarak “birleşimli normal biçim” (conjunctive normal form) denilen bir biçime getirilmesi gerekir. Bu biçim sadece “değil”, “ve” ve “veya” mantıksal bağlarını içerir. Ayrıca, öncüller arasında çelişki de bulunmamalıdır.
Örnek 1: P -> Q ~P V Q ~P V Q
P P P
------ ------ ~Q
Q Q ------
Bu örnekte P -> Q şartlı önermesi yerine eşdeğeri ~P V Q konulmuştur ki bu, P -> Q önermesinin normal biçimidir.
En sağdaki sütunda Q öncüllere katılmıştır. Çelişki işte bu bileşik önermede aranır. Burada ~P V Q’daki ~P ile, P birbirini götürür, geriye Q kalır, bu da ~Q ile gider, geriye sıfır çözülüm kalır. Çelişki de bu şekilde ispat edilmiş olur. Dolayısıyla, P -> Q ve P’den Q sonucunun çıkarılabilir olduğu böylece ispat edilmiş olur.
Örnek 2. A -> B ~A V B ~A V B
B -> C ~B V C ~B V C
A A A
--------- --------- ~C
C C -----------
sıfır çözülüm
Çözülüm teorem ispatlama metodu, yüklemler mantığının teorem ispatlama problemlerinde de uygulanmaktadır. Yüklemler mantığında teorem ispatı sırasında bireysel sabitlerin değişkenlerin yerine konulmasına “birleştirme” (unification) denilmektedir. Prolog programlama dili içinde böyle bir teorem ispatlayıcısı bulunmaktadır.
Örnek 1. P(x,y) -> Q(x) ~P(x,y) V Q(x) ~P(a,y) V Q(a)
P(a,y) P(a.y) P(a,y)
----------------- ----------------- ~Q(a)
Q(a) Q(a) -----------------
Bulanık Mantık
Bulanık Mantık (Fuzzy Logic) 1960’ların ortalarında Lotfi Zadeh tarafından iki değerli mantık ve probabilite teorisine alternatif olarak geliştirilmiştir. Bulanık mantıkçılara göre iki değerli mantık ve kümeler teorisi daha genel çok değerli bir teorinin özel halidir. Zadeh (1965) bulanık kümeleri ve bulanık mantığı şu şekilde tanımlamaktadır: Bulanık sistemlerde temel düşünce bulanık mantıkta doğruluk değerleri (veya bulanık kümelerde üyelik değerleri) 0 ile 1 arasında değişen değerlerdir ki burada 0 mutlak yanlış, 1 de mutlak doğru olmaktadır.
Doğal dilde kullandığımız birçok cümlede “az”, “çok”, “orta” gibi kalitatif niceleyiciler kullanıyoruz. Bu tür cümleleri bulanık mantığın gösterimi ile ifadelendirmek daha kolay olmaktadır. Bulanık mantıkta “Osman yaşlıdır,” ve “Bu gün hava sıcaktır,” cümlelerindeki “yaşlı” ve “sıcak” ifadelerine iki değerli mantıktaki gibi “doğru” veya” yanlış” yerine 0 ile 1 arasında değer verilebilmektedir.
Bulanık Mantığın Formel Tanımları
X, elemanları x’ler olan bir nesneler kümesi olsun, yani X = ( x ).
X’in içinde bir A bulanık kümesi bir üyelik fonksiyonu mA(x) ile karakterize edilir. Bu fonksiyon X içindeki her nesney, 0 ile 1 arasındaki bir reel sayıya [0,1] tekabül ettirir. Yukarıdaki örnekte A yaşlı insanlar kümesi olabilir Osman da X insanlar genel kümesinin bir üyesi olarak yaşlı insanlardan biri olabilir, ki A’daki üyelik derecesine göre üyelik değeri [0,1] reel sayılar aralığında yer alır.
mA(x) değeri 1’e yaklaştığında x’in A içindeki “üyelik derecesi” artar. Bütün x’ler için mA(x) = 0 ise, A boş bir küme olur; ve bütün x’ler için mA(x) = mB(x) olduğunda da A=B olur. Bulanık kümelerle ilgili tarifler de şöyledir:
m(karşıt A) = 1 – mA.
Eğer X’in bütün x’leri için mC(x) = MAX[mA(x), mB(x)] ise, C, A ve B’nin
birliğidir.
Eğer X’in bütün x’leri için mC(x) = MIN[mA(x), mB(x)] ise, C, A ve B’nin ara kesitidir.
----------------------------
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder